关于如何想象4维空间

张力手

转自原创： 乱武  乱舞
人们喜欢神秘。在所有神秘的事物中，高维空间位居前列，因为它的概念必然存在，但无法想象。在说想象前，我们需要知道什么是想象。当你说想象一个事物时，你将把这个事物翻译成自己的感知，比如想象某种味道，想象某种声音，或者，想象4维空间。正因为我们生活在3维空间，我们关于空间的感知，即视觉，只能到达3维，所以将4维空间翻译成感知便无从谈起。但这并不代表我们不能在此之上做些更多的思考，因为我们还能感受到时间的流逝。通过这一层感知，我们似乎可以对4维时空做一些想象，只不过这时的想象并不是直接创造出图像，而是设计一个有趣的事件。

考虑两个平面在2维空间中相交，我们知道它们的交集还是个平面。在3维空间中相交，我们知道它们会交于一条直线。那么考虑两个平面在4维空间相交会是什么样的情况？考虑我们生活在3维空间，在某一特定时刻，上帝创造出一个平面，在下一个瞬间再将其收回，这便是4维时空中的一个平面。再考虑我们的3维空间中每时每刻都存在一根直线，它在4维时空中留下的轨迹也是一个平面。当上帝创造平面的那个时刻出现时，平面与本就存在的直线相交于一个点，然后平面消失，后来它们永无交集。所以我们得知，两个平面在4维空间中会交于一个点。如果我们考虑的不是平面而是更加复杂的曲面，它们会交于若干个点。我们也可以不用硬加上两个曲面这个条件，可以想象，一个曲面与自己也能形成若干个点的交集，不如叫它们自相交点。当然，我们这里考虑的都是最自然的情况，并不会别有用心地设计诸如永远重合的两个平面的相交这种简单的图像。

读者们可以试着想象4维空间中的环面长什么样。为什么它是两个不相扣的圆环？

现在考虑两个平面在5维空间中相交。根据前面的规律，也许可以猜测它们通常不会相交。的确如此。上帝有一个卷轴（假设它是1维的），卷轴上的每一个点都代表了一个宇宙，而我们的宇宙只是其中的一个。假设这些宇宙空间上都是3维的。这时上帝突然选择了一点，也就是确定了一个宇宙，在某一特定时刻创造出一个平面，并在下一个瞬间将其收回，这是5维空间中的一个平面。同样，在另一个宇宙中，每时每刻都存在一根线，它在时空中留下的轨迹也是一个平面。这个平面存在于该宇宙的4维时空中，而该宇宙又由一个1维卷轴中的一个点所标记，于是这便是5维空间中的一个平面。因为这两个平面甚至不在一个宇宙中，它们永远不可能相交。

（对于数学专业者来说，以下所有的空间应是流形）
5=2×2+1，数学上可以证明，n维空间在2n+1维空间中没有自相交点。由于这个重要的特性，很多拓扑学问题对于5维或以上空间都可以一次性解决，3维以下可以简单地动手画图做出来，而3维和4维则成为了重点关注的对象，尤其是4维的现象异常的复杂。这里不妨介绍单连通空间的概念：当空间中任何一个圆环都能连续缩成一点时，我们称空间为单连通的。像甜甜圈就不是单连通的，它的表面也不是。4维的复杂和特殊来自于它是曲面是否有自相交点的临界维数，那么为什么曲面重要？因为单连通空间中，缩成一点的圆环滑过的轨迹是一个曲面，若它有自交点，便不能顺利滑过去了。为什么单连通重要？因为它简单，我们总是得先研究简单的东西。并且当考虑我们生活的宇宙时，我们总是先用直觉思考。直觉告诉我们，空间就像一个大球体，两点之间允许无数种等效的路径，从一条路径滑像另一条并没有阻碍。

4维空间的复杂之处在于，单连通的连续4维空间到光滑4维空间之间有不可数的无穷多种类型。庞加莱猜想的证明告诉我们，对于3维及以下的空间，连续即是光滑。对于5维及以上的空间，连续与光滑的差距并不算大。关于4维空间，有以下的分类定理：
每种系数为偶数的多元二次多项式对应一种空间，每种系数为奇数的多元二次多项式对应两种空间。比如x2对应一种空间，x2+2xy+y2又对应一种，x2+xy+y2+z2+s2+t2又对应一种。证明这个定理的关键在于一个叫Casson handle的东西：
它的构造从一个圆盘开始，在4维空间中圆盘可能与自己交于若干个点，粘黏任意两个自交点并考虑如何将它们消掉。这时从这两个粘合出来的点到自己的曲线包围了一个新的圆盘，我们本可以通过单连通条件将这条曲线缩成一个点从而消掉这两个自相交点，但这个新的圆盘在4维空间中又与自己相交于若干个点，我们又要重复上述操作。最后我们必须证明若干个这样的操作后我们可以消掉所有的自相交点。

这样的多项式有多少种呢？如果是二元二次多项式，高中数学告诉我们一共有三种这样的多项式，分别对应抛物线、双曲线、椭圆。如果是三元二次多项式，有78种这样的类别。而如果是8元的，则有几十亿种类别。所有类别的多项式对应的单连通4维空间中，只有平方和的形式，也就是如x2+y2这种形式的多项式对应的4维空间是光滑的。也就是说，给定一个单连通4维空间，它几乎不可能是光滑的。这里对于流形来说，光滑与可导等价，这意为着在这种空间中不可能有速度的存在。根据相对论我们知道，速度是在4维时空中定义的。

我断言这是量子力学的来源。后面的问题，我已做过深入的思考。

妙莲华

南无阿弥陀佛